Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 12. Вычисления и метрические соотношения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Вниз   Решение

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

ВверхВниз   Решение

а)  ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$ $ \geq$ $ \sqrt{3}$;
б)  tg($ \alpha$/2) + tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2) $ \geq$ $ \sqrt{3}$.

ВверхВниз   Решение

а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что Sl1oSl2 = T2a, где  Ta — параллельный перенос, переводящий l1 в l2, причем a $ \perp$ l1.
б) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O. Докажите, что Sl2oSl1 = R2$\scriptstyle \alpha$O, где  R$\scriptstyle \alpha$O — поворот, переводящий l1 в l2.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2$ \alpha$ + sin 2$ \beta$ + sin 2$ \gamma$ = 4 sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 82]      

  с решениями  

Задача 57622  (#12.039)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ + 4 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ + 1 = 0;
б)  cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2$ \gamma$ + 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = 1.
в) cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ = $ {\frac{OH^2}{2R^2}}$ - $ {\frac{3}{2}}$, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57623  (#12.040)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2$ \alpha$ + sin 2$ \beta$ + sin 2$ \gamma$ = 4 sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57624  (#12.041)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin2$ \alpha$ + sin2$ \beta$ + sin2$ \gamma$ = (p2 - r2 - 4rR)/2R2.
б)  4R2cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = p2 - (2R + r)2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57625  (#12.042)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos$ \gamma$ + bc cos$ \alpha$ + ca cos$ \beta$ = (a2 + b2 + c2)/2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57626  (#12.043)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
$ {\frac{\cos^2(\alpha /2)}{a}}$ + $ {\frac{\cos^2(\beta /2)}{b}}$ + $ {\frac{\cos^2(\gamma /2)}{c}}$ = $ {\frac{p}{4Rr}}$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 82]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .