Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ площади $S$. Внутри каждой его стороны отмечено по точке и эти точки последовательно соединены отрезками, так что $ABCD$ разбивается на меньший четырехугольник и $4$ треугольника. Докажите, что хотя бы у одного из этих треугольников площадь не превосходит $\frac{S}{8}$.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и AB. Оказалось, что  BDE = 50^o и  CED = 30^o. Найдите величины углов треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 82]      

В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и AB. Оказалось, что  BDE = 50^o и  CED = 30^o. Найдите величины углов треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда  4PB ^. CQ = BC².

Прислать комментарий

Решение

Пусть E — середина стороны AB квадрата ABCD, а точки F и G выбраны на сторонах BC и CD так, что AG| EF. Докажите, что отрезок FG касается окружности, вписанной в квадрат ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

Прислать комментарий

Решение

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 82]