Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
  б) Докажите, что   a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

   Решение

---

Докажите неравенство     при  |x|, |y| < 1.

   Решение

---

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть H_a — ортоцентр треугольника BCD, M_a — середина отрезка AH_a; точки M_b, M_c и M_d определяются аналогично. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c и M_d совпадают.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57711  (#13.029)

Темы:   [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57712  (#13.030)

Тема:   [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3 Классы: 9

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57713  (#13.031)

Тема:   [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3 Классы: 9

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57714  (#13.032)

Тема:   [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3 Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если + + = , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57715  (#13.033)

Тема:   [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4 Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть H_a — ортоцентр треугольника BCD, M_a — середина отрезка AH_a; точки M_b, M_c и M_d определяются аналогично. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c и M_d совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями