Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]

Задача 58094 (#М196)

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше $\pi$ k.

Прислать комментарий Решение

Задача 73732 (#М197)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73734 (#М199)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что (сумма берётся по всем целым i, 0 ≤ i ≤ ⁿ/₂).

б) Докажите, что если p и q – различные числа и p + q = 1, то

Прислать комментарий

Решение

Задача 73735 (#М200)

Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73737 (#М202)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d рационально. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]