Версия для печати
Убрать все задачи

---

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

   Решение

---

В треугольник  T_a = A₁A₂A₃ вписан треугольник  T_b = B₁B₂B₃, а в треугольник T_b вписан треугольник  T_c = C₁C₂C₃, причем стороны треугольников T_a и T_c параллельны. Выразите площадь треугольника T_b через площади треугольников T_a и T_c.

   Решение

---

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и  n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

   Решение

---

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116097  (#28.022)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58341  (#28.023)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58342  (#28.024)

Тема:   [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58343  (#28.025)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Касающиеся окружности ] [ Радикальная ось ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58344  (#28.026)

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями