Каталог по источникам

Выбрано 8 задач

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Решение

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Решение

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

а) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ $\geq$ $\sqrt{3}$ ;
б) tg( $\alpha$ /2) + tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2) $\geq$ $\sqrt{3}$ .

Решение

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l₁oS_l₂ = T_2a, где T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a $\perp$ l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l₂oS_l₁ = R²_O, где R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Решение

Докажите, что если при n = 2, ..., 10, то

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ + sin 2 $\gamma$ = 4 sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .

Решение

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d² = r₁² + r₂²±6r₁r₂ (к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

Решение

Задача 58358 (#28.039)

Задача 58359 (#28.040)