- глава 1. Метод математической индукции (59 задач)
- глава 2. Комбинаторика (110 задач)
- глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (173 задачи)
- глава 4. Арифметика остатков (209 задач)
- глава 5. Числа, дроби, системы счисления (85 задач)
- глава 6. Многочлены (141 задача)
- глава 7. Комплексные числа (97 задач)
- глава 8. Алгебра + геометрия (90 задач)
- глава 9. Уравнения и системы (100 задач)
- глава 10. Неравенства (76 задач)
- глава 11. Последовательности и ряды (99 задач)
- глава 12. Шутки и ошибки (15 задач)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Пусть k и n – натуральные числа, k ≤ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.
Юра начертил на клетчатой бумаге прямоугольник (по клеточкам) и нарисовал на нём картину. После этого он нарисовал вокруг картины рамку шириной в одну клеточку (см. рис.). Оказалось, что площадь картины равна площади рамки. Какие размеры могла иметь Юрина картина?
На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?
Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что
a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?
Поезду, в котором находится m пассажиров, предстоит сделать n остановок.
а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках?
б) Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его
справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции
равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел
содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то
оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого
a, и из предположения, что утверждение верно для всех
натуральных чисел k, таких, что
a k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение
верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для
некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
Задача 60274 (#01.001)[Деление с остатком] |
|
|
Докажите, что если a и b – целые числа и b ≠ 0, то существует единственная пара чисел q и r, для которой a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
|
|
Решение |
Задача 60275 (#01.002) |
|
|
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
|
|
|
Решение |
Задача 60276 (#01.003) |
|
|
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
|
|
|
Решение |
Задача 60277 (#01.004) |
|
|
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его
справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции
равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел
содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то
оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого
a, и из предположения, что утверждение верно для всех
натуральных чисел k, таких, что
a k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение
верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для
некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел.
|
|
Решение |
Задача 60278 (#01.005) |
|
|
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
