Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

Вниз   Решение


Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC. Известно, что  AH = 1  и  2∠MAC = ∠MCA.  Найдите сторону BC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

ВверхВниз   Решение


Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .

ВверхВниз   Решение


В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до 100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из которых весит вдвое больше другого?

ВверхВниз   Решение


Точка M находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных прямых m и n и на расстоянии 3 от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми m и n .

ВверхВниз   Решение


Bыпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?

ВверхВниз   Решение


Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Игра начинается с числа 0. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число от 1 до 9. Выигрывает тот, кто получит число 100.

ВверхВниз   Решение


Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?

ВверхВниз   Решение


а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.

ВверхВниз   Решение


Из чисел от 1 до 2n выбрано  n + 1  число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любого натурального n  4n + 15n – 1 делится на 9.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



Задача 60296  (#01.023)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n  4n + 15n – 1 делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60297  (#01.024)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n  23n + 1  делится на 3n+1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60298  (#01.025)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для всех натуральных n число, записываемое 3n единицами, делится на 3n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60299  (#01.026)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Из чисел от 1 до 2n выбрано  n + 1  число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77992  (#01.027)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Найти корни уравнения   

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .