Каталог по источникам

Выбрано 13 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.

Решение

Существуют ли а) 5, б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?

Решение

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.

Решение

При каких целых n число n⁴ + 4 – составное?

Решение

Автор: Крыжановский О.Ф.

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))ⁿ, n > 1, положительны?

Решение

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Решение

Докажите неравенство для натуральных n:

Решение

Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй – 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.

Решение

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки A₁, B₁, C₁ и D₁ таковы, что AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем $\angle$ A + $\angle$ C₁ = 180^o.

Решение

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то a = 2 и n – простое.
(Числа вида q = 2ⁿ – 1 называются числами Мерсенна.)

Решение

Дан прямоугольный параллелепипед размерами а) 4 × 4 × 4; б) 4 × 4 × 3; в) 4 × 3 × 3, составленный из единичных кубиков. За ход разрешается проткнуть спицей любой ряд, если в нем есть хотя бы один непроткнутый кубик. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Решение

Для каких n выполняются неравенства: а) n! > 2ⁿ; б) 2ⁿ > n².

Решение

Задача 60311 (#01.038)

Задача 60312 (#01.039)

Задача 60313 (#01.040)