Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 1. Метод математической индукции
>>
параграф 2. Тождества, неравенства и делимость
Фильтр
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Пусть на двух пересекающихся прямых l1 и l2 выбраны точки M1 и M2, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1, M2 и M.
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).
Решение
Решить предыдущую задачу, если про массивы известно лишь, что x[1]≤...≤x[k] и y[1]≤...≤y[l] (возрастание заменено неубыванием).
Решение
Решение
Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Решение
Дано отображение прямой a на прямую b, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.
Решение
Решение
Убрать все задачи
Пусть на двух пересекающихся прямых l1 и l2 выбраны точки M1 и M2, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M1, M2 и M.
Если (l1, M1), (l2, M2), (l3, M3) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l1, M1) и (l2, M2), (l2, M2) и (l3, M3), (l3, M3) и (l1, M1), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).
РешениеРешить предыдущую задачу, если про массивы известно лишь, что x[1]≤...≤x[k] и y[1]≤...≤y[l] (возрастание заменено неубыванием).
РешениеТочка M расположена на стороне CD квадрата ABCD с центром O, причём CM : MD = 1 : 2.
Найдите стороны треугольника AOM, если сторона квадрата равна 6.
РешениеДокажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
РешениеДано отображение прямой a на прямую b, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.
РешениеДля каких n выполняются неравенства: а) n! > 2n; б) 2n > n².
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 33]
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 33]
Задача 60311 (#01.038) |
|
|
Докажите неравенство 2m+n–2 ≥ mn, где m и n – натуральные числа.
|
|
Решение |
Задача 60312 (#01.039) |
|
|
Для каких n выполняются неравенства: а) n! > 2n; б) 2n > n².
|
|
|
Решение |
Задача 60313 (#01.040) |
|
|
Вычислите произведение
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 33]
