Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.

   Решение

---

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P', Q', R', S' соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырехугольников.)

   Решение

---

Сумма четырех единичных векторов равна нулю. Докажите, что их можно разбить на две пары противоположных векторов.

   Решение

---

Пусть  x₁, x₂,..., x_n  – корни уравнения  a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0.  Какие корни будут у уравнений
  а)  a₀xⁿ + ... + a_n–1x + a_n = 0;
  б)  a_nx²ⁿ + ... + a₁x² + a₀ = 0?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60960  (#06.037)  [Деление многочленов с остатком]

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  и  deg R(x) < degQ(x);  при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60961  (#06.038)  [Теорема Безу]

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на  x – c  равен P(c).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60962  (#06.039)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60963  (#06.040)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Производная и касательная ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60964  (#06.041)

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  x₁, x₂,..., x_n  – корни уравнения  a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0.  Какие корни будут у уравнений
  а)  a₀xⁿ + ... + a_n–1x + a_n = 0;
  б)  a_nx²ⁿ + ... + a₁x² + a₀ = 0?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями