ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей? Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя. Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9. Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
ортогональны тогда и только тогда, когда
d2 = R12 + R22.
В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр. 100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом? Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены. Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x – 1, и остаток 1 при делении на x – 2. Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел. Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 1 по степеням x + 1. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]
Значение многочлена Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 (an ≠ 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = (...(anx + an–1)x + ... + a1)x + a0. Пусть bn, bn–1, ..., b0 – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть bn = an, bk = cbk+1 + ak (k = n – 1, ..., 0). Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на x – c с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn–1, ..., b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:
Докажите следующие формулы: an+1 – bn+1 = (a – b)(an + an–1b + ... + bn); a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n – a2n–1b + a2n–2b2 – ... + b2n).
Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням x – c: P(x) =
причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле ck =
Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 1 по степеням x + 1.
Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 – x3 + 1.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке