Версия для печати
Убрать все задачи

---

В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

   Решение

---

На клетки шахматной доски положили рисовые зёрнышки. Количества зёрнышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно
на 1. При этом на одной из клеток доски лежало три зёрнышка, а на другой – 17 зёрнышек. Петух склевал все зёрнышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зёрен досталось петуху и сколько курице?

   Решение

---

Решите системы:

а)  

б)  x(y + z) = 2,  y(z + x) = 2,  z(x + y) = 3;

в)  x² + y² + x + y = 32,  12(x + y) = 7xy;

г)  

д)  x + y + z = 1,  xy + xz + yz = –4,  x³ + y³ + z³ = 1;

е)  x² + y² = 12,  x + y + xy = 9.

   Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61039  (#06.116)

Тема:   [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

а) Известно, что  x + y = u + v,  x² + y² = u² + v².
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство  xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ.

б) Известно, что  x + y + z = u + v + t,  x² + y² + z² = u² + v² + t²,  x³ + y³ + z³ = u³ + v³ + t³.
Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство  xⁿ + yⁿ + zⁿ = uⁿ + vⁿ + tⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61040  (#06.117)

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Решите системы:

а)  

б)  x(y + z) = 2,  y(z + x) = 2,  z(x + y) = 3;

в)  x² + y² + x + y = 32,  12(x + y) = 7xy;

г)  

д)  x + y + z = 1,  xy + xz + yz = –4,  x³ + y³ + z³ = 1;

е)  x² + y² = 12,  x + y + xy = 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61041  (#06.118)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Многочлены (прочее) ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена  x⁴ – ax³ – bx + c.  Найдите все такие многочлены.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61042  (#06.119)

Темы:   [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a⁴ + 2b⁴ + 2c⁴  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61043  (#06.120)

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  ax³ + bx² + cx + d = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 141]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями