Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 7. Комплексные числа
>>
параграф 1. Комплексная плоскость
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Через точку O пересечения медиан треугольника ABC
проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите,
что
NO 2MO.
Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой
вырезаны
а) клеточки b3 и e7;
б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если AP : AB = DR : DC и AS : AD = BQ : BC, то и SO : SQ = AP : AB, PQ : PR = AS : ;AD.
Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.
11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.
Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.
Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)2n+1 + an+2 делится на a² + a + 1.
Задачи Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]
Задача 61135 (#07.071) |
|
|
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
|
|
Решение |
Задача 61136 (#07.072)[Теорема Гаусса-Люка] |
|
|
Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
|
|
Решение |
Задача 61137 (#07.073) |
|
|
При каких n
а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x² + x + 1?
б) многочлен x2n – xn + 1 делится на x² – x + 1?
|
|
|
Решение |
Задача 61138 (#07.074) |
|
|
Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение (a + 1)2n+1 + an+2 делится на a² + a + 1.
|
|
|
Решение |
Задача 61139 (#07.075) |
|
|
При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
|
|
|
Решение |
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 83]
