Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Вниз   Решение


Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x1x2)²(x² – x3)²(x3x1)².

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке P. Пусть la, lb, lc — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B1C1, CA и C1A1, AB и A1B1. Докажите, что прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Сумма трёх положительных углов равна 90o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

ВверхВниз   Решение


В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

ВверхВниз   Решение


При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения  x³ – x – a = 0.

ВверхВниз   Решение


На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2\| AB$, $B_1C_2\| BC$, $C_1A_2\| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

ВверхВниз   Решение


Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

ВверхВниз   Решение


Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение     Сколько действительных корней оно имеет?

ВверхВниз   Решение


Получите формулу для корня уравнения  x³ + px + q = 0:
    x = + .

ВверхВниз   Решение


  а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?
  б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
  в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?

ВверхВниз   Решение


Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 61272  (#09.021)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет
  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61273  (#09.022)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61274  (#09.023)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Фазовая плоскость коэффициентов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три различных корня, принадлежащих интервалу  (–2, 4).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61275  (#09.024)

 [Метод Виета]
Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Когда  4p³ + 27q² < 0,  уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
  а) Докажите, что при  p < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = kt  сводится к уравнению  4t³ – 3t – r = 0   (*)  от переменной t.
  б) Докажите, что при  4p³ + 27q² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  t1 = cos,   t2 = cos,   t3 = cos,  где  φ = arccos r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61276  (#09.025)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрические уравнения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .