Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причём их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей.
Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.

   Решение

---

Имеется 11 мешков с монетами и весы с двумя чашками и стрелкой, которые показывают, на какой чашке груз тяжелее и на сколько именно. Известно, что в одном мешке все монеты фальшивые, а в остальных – все монеты настоящие. Все настоящие монеты имеют одинаковый вес, а все фальшивые – также одинаковый, но другой вес. За какое наименьшее число взвешиваний можно определить, в каком мешке лежат фальшивые монеты?

   Решение

---

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61272  (#09.021)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Фазовая плоскость коэффициентов ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет
  а) один корень;   б) два корня;   в) три различных корня;   г) три совпадающих корня.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61273  (#09.022)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Фазовая плоскость коэффициентов ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек  (p, q),  для которых все корни уравнения  x³ + px + q = 0  не превосходят по модулю 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61274  (#09.023)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Фазовая плоскость коэффициентов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек  (p, q),  для которых уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три различных корня, принадлежащих интервалу  (–2, 4).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61275  (#09.024)  [Метод Виета]

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Когда  4p³ + 27q² < 0,  уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
  а) Докажите, что при  p < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = kt  сводится к уравнению  4t³ – 3t – r = 0   (*)  от переменной t.
  б) Докажите, что при  4p³ + 27q² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  t₁ = cos,   t₂ = cos,   t₃ = cos,  где  φ = arccos r.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61276  (#09.025)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями