Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 3. Производящие функции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!

Вниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

ВверхВниз   Решение

Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Вторая окружность, проходящая через точки A, B, O, касается прямой AC в точке A.
Докажите, что  AB = AC.

ВверхВниз   Решение

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что AC=1 , а углы MKN и ABC равны соответственно 45o и 30o . Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45o . Найдите стороны треугольника ABC .

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что  BQ = BC.

ВверхВниз   Решение

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

Задача 61492  (#11.065)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61493  (#11.066)

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61493  (#11.067)

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61495  (#11.068)

Темы:   [ Формальные степенные ряды ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

(1 + x + x2 +...+ x9)(1 + x10 + x20 +...+ x90)×
×(1 + x100 + x200 +...+ x900)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61496  (#11.069)

 [Бином Ньютона для отрицательных показателей]
Тема:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .