Версия для печати
Убрать все задачи

---

Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

   Решение

---

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

---

Сторону AB треугольника ABC разделили на n равных частей (точки деления  B₀ = A,  B₁, B₂,  B_n = B),  а сторону AC этого треугольника разделили на
n + 1  равных частей (точки деления  C₀ = A,  C₁, C₂, ..., C_n+1 = C).  Закрасили треугольники C_iB_iC_i+1. Какая часть площади треугольника закрашена?

   Решение

---

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

   Решение

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67353

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67365

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Из картона вырезали два многоугольника. Может ли быть, что при любом их расположении на плоскости они либо имеют общие внутренние точки, либо пересекаются по конечному множеству точек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67367

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ] [ Теорема Птолемея ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны 4 точки на плоскости $A$, $B$, $C$, $D$, не образующие прямоугольник. Пусть стороны треугольника $T$ равны $AB+CD$, $AC+BD$, $AD+BC$. Докажите, что $T$ – остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67530

Темы:   [ Центр масс ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64400

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями