Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четыре мышонка: Белый, Серый, Толстый и Тонкий делили головку сыра. Они разрезали её на 4 внешне одинаковые дольки. В некоторых дольках оказалось больше дырок, поэтому долька Тонкого весила на 20 г меньше дольки Толстого, а долька Белого — на 8 г меньше дольки Серого. Однако Белый не расстроился, т.к. его долька весила ровно четверть от массы всего сыра.

Серый отрезал от своего куска 8 г, а Толстый — 20 г. Как мышата должны поделить образовавшиеся 28 г сыра, чтобы у всех сыра стало поровну? Не забудьте пояснить свой ответ.

   Решение

---

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61058  (#06.135)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трёхчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61059  (#06.136)

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Системы линейных уравнений ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61060  (#06.137)

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть a, b и c – три различных числа. Докажите, что из равенств
   
следует, что x = y = z = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61061  (#06.138)

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Про многочлен   f(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + ... + a₀  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64413  (#06.139)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями