Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев ломаной особой, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

---

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC взяты точки D и K, а на стороне AC – точки E и M, причём  DA + AE = KC + CM = AB.
Докажите, что угол между прямыми DM и KE равен 60°.

   Решение

---

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

   Решение

---

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:
  а)  w = z + a;   б) w = 2z;   в) w = z(cos φ + i sin φ);   г)   w = z ?

   Решение

---

На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что  KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P.
Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64837

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Есть 99 палочек с длинами 1, 2, 3, ..., 99. Можно ли из них сложить контур какого-нибудь прямоугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64838

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Средние величины ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
  а) ровно в шесть раз;
  б) ровно в пять раз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65149

Темы:   [ Раскраски ] [ Наглядная геометрия в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65187

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри параллелограмма ABCD отметили точку E так, что  CD = CE.
Докажите, что прямая DE перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков AE и BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64839

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что  KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P.
Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями