Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Выбрано 3 задачи Убрать все задачи
Дан прямоугольник ABCD. Через точку B провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону AD в точке K, а вторая продолжение стороны CD в точке L. Пусть F – точка пересечения KL и AC. Докажите, что BF ⊥ KL.
РешениеВ угол вписаны непересекающиеся окружности ω1 и ω2. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых l1 и l2, что l1 касается ω1, l2 касается ω2 (ω1, ω2 находятся между l1 и l2). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l1, l2 и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
РешениеВ четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.
Решение
Задачи
Задача 64884 (#21) |
|
В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.
|
|
|
Решение |
Задача 64885 (#22) |
|
|
Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?
|
|
Решение |
Задача 64886 (#23) |
|
|
Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть AB·CD = AC·BD = AD·BC). Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.
|
|
|
Решение |
Задача 64887 (#24) |
|
|
Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]
