Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская устная олимпиада по геометрии >> 15 (2017 год) >> 8-9 класс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 1999?

Вниз   Решение

Докажите, что

$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$$\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$,    и    $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$.


ВверхВниз   Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

ВверхВниз   Решение

На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B, а также через точки C и D проводятся параллельные прямые.
Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных точках.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.

ВверхВниз   Решение

Дана таблица 3×3 (как для игры в крестики-нолики). В четыре случайно выбранные ячейки случайным образом поставили четыре фишки.
Найдите вероятность того, что среди этих четырёх фишек найдутся три, которые стоят в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Закорко П., Антропов А.

а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.

ВверхВниз   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите, что AA1 = BB1 = CC1.

ВверхВниз   Решение

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

ВверхВниз   Решение

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

ВверхВниз   Решение

Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T1. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T1.

ВверхВниз   Решение

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Пермяков Д.А., Скопенков А.Б.

Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)

ВверхВниз   Решение

Докажите, что с помощью поворота

x'' = x'cosφ + y'sinφ,    y'' = - x'sinφ + y'cosφ

в уравнении ax'2 + 2bx'y' + cy'2 = f' коэффициент при x'y' можно сделать равным нулю.

ВверхВниз   Решение

Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. В треугольники ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1 и O2.
Докажите, что прямая O1O2 перпендикулярна BC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

Задача 66135  (#1)

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66136  (#2)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. В треугольники ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1 и O2.
Докажите, что прямая O1O2 перпендикулярна BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66137  (#3)

Темы:   [ Средняя линия трапеции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Блинков А.Д., Блинков Ю.А.

Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что  BC || AD  и  AN = CM.
Верно ли, что ABCD – параллелограмм?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66138  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66139  (#5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Расторгуев В.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .