На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

   Решение

На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток?

   Решение

На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.

   Решение

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

Прислать комментарий

Решение

На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были параллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?

Прислать комментарий

Решение

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий

Решение

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]