Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
>>
8 класс
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Саша выбрал натуральное число N > 1 и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: d1 < ... < ds (так что d1 = 1 и
ds = N). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных s – 1 чисел оказалась равной
N – 2. Какие значения могло принимать N?
Даны трапеция ABCD и перпендикулярная её основаниям AD и BC прямая l. По l движется точка X. Перпендикуляры, опущенные из A на BX и из D на CX пересекаются в точке Y. Найдите ГМТ Y.
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)
б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ωA треугольника BHC взята точка XA, что AH = AXA и H ≠ XA. Аналогично определены точки XB и XC. Докажите, что треугольник XAXBXC и ортотреугольник треугольника ABC подобны.
На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.
Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.
Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что KS || AC и LT || AB. Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.
Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
Из клетчатого бумажного квадрата 100×100 вырезали по границам клеток 1950 доминошек (двуклеточных прямоугольников). Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида Т – возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)
В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 66252 (#8.1) |
|
|
В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.
|
|
Решение |
Задача 66253 (#8.2) |
|
Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что DM ⊥ AC.
|
|
Решение |
Задача 66254 (#8.3) |
|
Даны трапеция ABCD и перпендикулярная её основаниям AD и BC прямая l. По l движется точка X. Перпендикуляры, опущенные из A на BX и из D на CX пересекаются в точке Y. Найдите ГМТ Y.
|
|
|
Решение |
Задача 66255 (#8.4) |
|
|
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
|
|
|
Решение |
Задача 66256 (#8.5) |
|
|
На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
