Версия для печати
Убрать все задачи

---

Три окружности проходят через точку P, а вторые точки их пересечения A, B, C лежат на одной прямой. A₁, B₁, C₁ – вторые точки пересечения прямых AP, BP, CP с соответствующими окружностями. C₂ – точка пересечения прямых AB₁ и BA₁.  A₂, B₂ определяются аналогично.
Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

   Решение

---

Через каждую вершину неравнобедренного треугольника ABC проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами.
Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?

   Решение

---

Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.

   Решение

---

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66264

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Центр окружности ω₂ лежит на окружности ω₁. Из точки X окружности ω₁ проведены касательные XP и XQ к окружности ω₂ (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω₁ в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66265

Темы:   [ Замечательное свойство трапеции ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66268

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66272

Темы:   [ Прямая призма ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66299

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD, в котором  AB = BC  и  AD = CD,  вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что  PQ || AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями