- 8-9 класс (6 задач)
- 10-11 класс (5 задач)
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора x1,...,x10 имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что 0 \leqslant x_{1} \leqslant ... \leqslant x_{10}. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите,
что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Четыре одинаковых кубика расположили на столе так, как показано на рисунке. Одна из граней каждого кубика покрашена в чёрный цвет. За один шаг разрешается повернуть одинаковым образом оба кубика из одного ряда (вертикального или горизонтального). Докажите, что, независимо от начального расположения чёрных граней, за несколько таких шагов можно расположить кубики чёрными гранями вверх.
На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?
Вдоль улицы стоят шесть деревьев, и на каждом из них сидит по вороне. Раз в час две из них взлетают, и каждая садится на одно из соседних деревьев. Может ли получиться так, что все вороны соберутся на одном дереве?
Пусть
=
/7. Докажите,
что
=
+
.
В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое), после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?
В неравнобедренном треугольнике ABC биссектрисы углов A и B обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол C.
Вася положил некую сумму в рублях в банк под 20% годовых. Петя взял другую сумму в рублях, перевел её в доллары и положил в банк под 10% годовых. За год цена одного доллара в рублях увеличилась на 9,5%. Когда через год Петя перевел свой вклад в рубли, то оказалось, что за год Вася и Петя получили одинаковую прибыль. У кого первоначально была сумма больше – у Васи или у Пети?
Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.
Задачи Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 66405 |
|
|
Даны треугольник ABC (AB > AC) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги BC (не содержащей вершину A), проведя не более двух линий.
|
|
Решение |
Задача 66410 |
|
|
Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 66411 |
|
|
На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I1 – центр вписанной, J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I2 – центр вписанной, J2 центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I1I2 и J1J2 перпендикулярна AB.
|
|
Решение |
Задача 66406 |
|
|
Фиксированы окружность, описанная около остроугольного треугольника ABC, и вершина C. Ортоцентр H движется по окружности с центром в точке C. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин A и B.
|
|
|
Решение |
Задача 66412 |
|
|
На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
