Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 915]

Задача 66924

Темы:	[	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Mudgal A., Srivastava P.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ $H$ – ортоцентр. Биссектриса угла $BHC$ пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к $AB$ и $AC$ из $P$ и $Q$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $KH$ делит отрезок $BC$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66929

Темы:	[	Инверсия (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Казаков А.

Хорды $A_1A_2$ и $B_1B_2$ пересекаются в точке $D$. Прямая $A_1B_1$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $DD'$, где точка $D'$ инверсна к $D$, в точке $C$. Докажите, что $CD\parallel A_2B_2$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66931

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В четырехугольнике $ABCD$ $AB\perp CD$ и $AD\perp BC$. Докажите, что существует точка, расстояния от которой до прямых, содержащих стороны четырехугольника, пропорциональны этим сторонам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66936

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Прислать комментарий Решение

Задача 66949

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Mudgal A.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 915]