Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 915]

Задача 66804

Тема:

[

Построения (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)

Прислать комментарий Решение

Задача 66808

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Юдин Ф.

Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $X,Y$ на $\omega$ таковы, что $\angle BXC=\angle BYC=90^\circ$. Докажите, что прямые $EF$ и $XY$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67215

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Забазнов Г.

Высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Перпендикуляр из $H$ к прямой $EF$ пересекает прямую $\ell$, проходящую через точку $A$ и параллельную $BC$, в точке $P$. Биссектрисы углов, образованных прямыми $\ell$ и $HP$, пересекают прямую $BC$ в точках $S$ и $T$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $PST$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 67221

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67538

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 915]