Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 915]

Задача 116898

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Авторы: Акопян А.В., Швецов Д.В.

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116901

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

Высоты AA₁, CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA₁. Точка P – середина отрезка A₁C₁. Докажите, что ∠QPH = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116906

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

При каких n > 3 правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116910

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Плотников М.

Пусть AH – высота остроугольного треугольника ABC, а точки K и L – проекции H на стороны AB и AC. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую KL в точках P и Q, а прямую AH – в точках A и T. Докажите, что точка H является центром вписанной окружности треугольника PQT.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116914

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Дан квадрат. Найдите геометрическое место середин гипотенуз прямоугольных треугольников, вершины которых лежат на попарно различных сторонах квадрата и не совпадают с его вершинами.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 915]