Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 915]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника
OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Медианы
AA' и
BB' треугольника
ABC пересекаются в
точке
M , причем
AMB=120
o . Докажите, что углы
AB'M и
BA'M не могут быть оба острыми или оба тупыми.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Четырехугольник
ABCD описан около окружности.
Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов
окружностей, вписанных в треугольники
ABC и
ACD .
Страница:
<< 139 140 141 142
143 144 145 >> [Всего задач: 915]
Фильтр
