Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 136 137 138 139 140 141 142 >> [Всего задач: 915]

Задача 65940

Темы:	[	Композиция центральных симметрий	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Тарасов А.

Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна – это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Она может перемещаться прыжками через Луну и Землю: из старого места (точки А) она моментально появляется в новом (в точке A') так, что в середине отрезка АA' находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66225

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Панов М.Ю.

На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66241

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66245

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Ясинский В.

В окружность вписан шестиугольник ABCDEF. K, L, M, N – точки пересечения пар прямых AB и CD, AC и BD, AF и DE, AE и DF.
Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66246

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 136 137 138 139 140 141 142 >> [Всего задач: 915]