Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 915]

Задача 65048

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Фельдман Г.

Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65050

Темы:	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Треугольник (построения)	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]
	[	Метод ГМТ	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан остроугольный треугольник ABC.
Найдите на сторонах BC, CA, AB такие точки A', B', C', чтобы наибольшая сторона треугольника A'B'C' была минимальна.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65363

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65367

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Антропов А., Якубов А.

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что BB₁ ⊥ CC₁. Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA, ∠XCB = ∠C₁CA. Докажите, что ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65371

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 915]