Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2^d?

   Решение

---

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66933  (#21 [10-11 кл])

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Птолемея ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66934  (#22 [10-11 кл])

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан вписанный в окружность $\Omega$ четырехугольник $ABCD$. На диагонали $AC$ берутся пары точек $P$, $Q$ таких, что лучи $BP$ и $BQ$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Найдите геометрическое место центров окружностей $PDQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66935  (#23 [10-11 кл])

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше $180^\circ$.

На плоскости даны $1000000$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых $1000000$-угольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66936  (#24 [11 кл])

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями