Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 820]

Задача 67089

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $A_2$ – точка касания вписанной окружности треугольника $AB_1C_1$ со стороной $B_1C_1$; аналогично определяются точки $B_2$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67090

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67091

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67110

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Кухарчук И.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD = 2 \angle BCD$ и $AB = AD$. Пусть $P$ – такая точка, что $ABCP$ – параллелограмм. Докажите, что $CP=DP$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67111

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 820]