Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
классы:
-
Заочный тур
(24 задачи)
8 класс
(8 задач)
9 класс
(8 задач)
10 класс
(8 задач)
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1/9.
Решение
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим через $B_0$ середину дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей $B$. Описанные окружности треугольников $AA_1B_0$ и $CC_1B_0$ пересекают прямые $BC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что инцентр $\triangle ABC$ лежит на $PQ$.
Решение
Убрать все задачи
а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1/9.
РешениеВ треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим через $B_0$ середину дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей $B$. Описанные окружности треугольников $AA_1B_0$ и $CC_1B_0$ пересекают прямые $BC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что инцентр $\triangle ABC$ лежит на $PQ$.
Решение
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]
В треугольнике $ABC$ $CH$ – высота, $CA'$, $CB'$ – биссектрисы треугольников $CBH$, $CAH$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $CA'B'$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда $\angle ACB=90^{\circ}$.
Можно ли отметить на плоскости больше шести точек, не лежащих на одной прямой, и раскрасить их в три цвета так, чтобы на любой прямой, проходящей через две разноцветные точки, лежала еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в третий цвет?
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим через $B_0$ середину дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей $B$. Описанные окружности треугольников $AA_1B_0$ и $CC_1B_0$ пересекают прямые $BC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что инцентр $\triangle ABC$ лежит на $PQ$.
В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $2PQ < AD$.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]
Задача 67548 (#8.2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67549 (#8.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67550 (#8.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67551 (#8.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67552 (#8.6) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]
