Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]

Задача 73601 (#М66)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Милованов А.И.

Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел:

3² + 4² = 5²,

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².

Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

Прислать комментарий Решение

Задача 73602 (#М67)

Темы:	[	Объем шара, сегмента и проч.	]
Темы:	[	Объем круглых тел	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

Прислать комментарий Решение

Задача 73603 (#М68)

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Инварианты	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Виленкин А.Н.

Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

Прислать комментарий Решение

Задача 73604 (#М69)

[Числа-автоморфы]

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, a₃, ..., что для любого натурального n квадрат числа a_na_n–1...a₂a₁ оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ a₁ = 1 и 0 = a₂ = a₃ = ... мы исключаем.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73605 (#М70)

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Композиции проекций	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]