Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

   Решение

---

Сформулируйте и докажите признаки делимости на числа 2, 4, 8, 5 и 25.

   Решение

---

Число N записано в десятичной системе счисления  N = .  Докажите следующие признаки делимости:
  а) N делится на 3  ⇔  a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 3;
  б) N делится на 9  ⇔  a_n + a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 9;
  в) N делится на 11  ⇔  (–1)ⁿa_n + (–1)^n–1a_n–1 + ... + a₁ + a₀ делится на 11.

   Решение

---

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.

   Решение

---

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел a, b, c, для которых выполняется равенство a¹⁵ + b¹⁵ = c¹⁶.

   Решение

---

Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел  1 – x  и  1 + x  равна p.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73606  (#М71)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

  а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
  б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73607  (#М72)

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел  1 – x  и  1 + x  равна p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73608  (#М73)

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Задачи с ограничениями ] [ Дискретное распределение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы
  а) ровно 4 клетки?   б) ровно 5 клеток?   в) все 8 клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73609  (#М74)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (x – ^a/₂)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73610  (#М75)

Темы:   [ Обходы многогранников ] [ Параллельное проектирование (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Индукция в геометрии ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями