Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]

Задача 79267 (#М235)

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Ломаные	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Бернштейн И.Д.

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73771 (#М236)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Сойфер А.Л., Слободник С.Г.

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73773 (#М238)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шлейфер Р.

Для любого натурального числа n сумма делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73774 (#М239)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Итерации	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Теорема Эйлера	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Чернов Н.

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ..., где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
б) точка C_n совпадает с C?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73775 (#М240)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Показательные неравенства	]
	[	Логарифмические неравенства	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Белага Э.Г.

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]