Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Вниз   Решение


a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  aik.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

ВверхВниз   Решение


Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

ВверхВниз   Решение


Решить в натуральных числах уравнение

ВверхВниз   Решение


Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

ВверхВниз   Решение


В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

ВверхВниз   Решение


Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

ВверхВниз   Решение


Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

ВверхВниз   Решение


Найти все действительные решения системы  

ВверхВниз   Решение


Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

ВверхВниз   Решение


Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

ВверхВниз   Решение


Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



Задача 78119

Темы:   [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78126

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Четность и нечетность ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы  

Прислать комментарий     Решение

Задача 78105

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Произвольные многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78115

Тема:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78117

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .