Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Вниз   Решение


a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество чисел из набора a1, a2, ..., an, удовлетворяющих условию:  aik.
Доказать, что   a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...

ВверхВниз   Решение


Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

ВверхВниз   Решение


Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

ВверхВниз   Решение


Решить в натуральных числах уравнение

ВверхВниз   Решение


В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

ВверхВниз   Решение


Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?

ВверхВниз   Решение


Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

ВверхВниз   Решение


Найти все действительные решения системы  

ВверхВниз   Решение


Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

ВверхВниз   Решение


Внутри треугольника ABC взята точка O. На лучах OA, OB и OC построены векторы единичной длины.
Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы.

ВверхВниз   Решение


Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



Задача 78119

Темы:   [ Наименьший или наибольший угол ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78126

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Четность и нечетность ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы  

Прислать комментарий     Решение

Задача 78105

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Произвольные многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78115

Тема:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9

В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78117

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .