Пусть     Чему равны P_n и Q_n?

   Решение

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C₁ и B'B₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка B₁C₁ лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.

   Решение

Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

   Решение

В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.

   Решение

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

   Решение

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Вписанная окружность касается его сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ – ближайшая к $N$ точка пересечения прямой $AN$ с вписанной окружностью, а $K$ – точка пересечения прямых $DE$ и $FT$. Докажите, что $AK||BC$.

   Решение

В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

   Решение

В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой.
Верно ли, что у него равны стороны?

   Решение

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

   Решение

Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.

   Решение

Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Внутри равностороннего (не обязательно правильного) семиугольника A₁A₂...A₇ взята произвольно точка O. Обозначим через H₁, H₂,..., H₇ основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны A₁A₂, A₂A₃,..., A₇A₁ соответственно. Известно, что точки H₁, H₂,..., H₇ лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Доказать, что A₁H₁ + A₂H₂ + ... + A₇H₇ = H₁A₂ + H₂A₃ + ... + H₇A₁.

Прислать комментарий

Решение

В n стаканах достаточно большой вместительности налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких n можно в конечное число шагов слить воду в один стакан?

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]