Доказать, что  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ ≠ n²,  где n – целое.

   Решение

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

   Решение

Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

   Решение

Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?

Прислать комментарий

Решение

Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.

Прислать комментарий

Решение

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?

Прислать комментарий

Решение

Лист клетчатой бумаги размером N×N раскрасили в N цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих N цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено
а) N² - 1 клетка?
б) N² - 2 клетки?
в) N клеток?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]