Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1974 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC, AD и BE — его биссектрисы. Известно, что AC > BC. Доказать, что AE > DE > BD.

Вниз   Решение

Какое число больше: 3111 или 1714?

ВверхВниз   Решение

Автор: Конягин С.В.

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

ВверхВниз   Решение

Завод выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя красными и семью синими шариками. Сколько различных погремушек может быть выпущено? (Две погремушки считаются одинаковыми, если одна из них может быть получена из другой только передвижением шариков по кольцу и переворачиванием.)

ВверхВниз   Решение

Докажите, что уравнение  3x² + 2 = y²  нельзя решить в целых числах.

ВверхВниз   Решение

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

ВверхВниз   Решение

Что больше: 792 или 891?

ВверхВниз   Решение

Пусть A1, B1, C1, D1 — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если $ \overrightarrow{AB}$ = $ \overrightarrow{CD}$, то $ \overrightarrow{A_1B_1}$ = $ \overrightarrow{C_1D_1}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Кузнецов А.

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.

ВверхВниз   Решение

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  1/243 = 0,004115226337448...

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов  e1, e2 — в данный базис  e1', e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

ВверхВниз   Решение

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны 7 прямых, никакие две из которых не параллельны. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми меньше 26°.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,    
 1$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$,    
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$    
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$.    

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

ВверхВниз   Решение

Дано число, имеющее 13 разрядов. Доказать, что одну из его цифр можно вычеркнуть так, что в полученном числе количество семёрок на чётных местах будет равно количеству семёрок на нечётных местах.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что в десятичной записи чисел  2n + 1974n и 1974n  содержится одинаковое количество цифр.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 79291

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что в десятичной записи чисел  2n + 1974n и 1974n  содержится одинаковое количество цифр.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79293

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Конягин С.В.

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79268

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что число 100...001, в котором  21974 + 21000 – 1  нулей, составное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79269

Темы:   [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 79289

Тема:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC, AD и BE — его биссектрисы. Известно, что AC > BC. Доказать, что AE > DE > BD.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .