Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]

Задача 98130 (#М1348)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Прасолов В.В.

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA, C₁A₁ || PB, A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98132 (#М1349)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Фомин Д.

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек n + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98142 (#М1350)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть n и b – натуральные числа. Через V(n, b) обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12, так что V(36, 2) = 5). Докажите, что V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98128 (#М1351)

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Паровян А.

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты, AC > AB. На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98127 (#М1352)

Тема:

[

Линейные неравенства и системы неравенств

]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Шлейфер Р.

n чисел (n > 1) называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на n – 1. Пусть a, b, c, ... – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
а) все они положительны;
б) a + b > c;
в) a + b > ^S/_n–1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]