Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.
б) А если чижей и деревьев n?

   Решение

---

Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что  a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98249

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Текстовые задачи (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98227

Темы:   [ Отношение порядка ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98240

Тема:   [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что  a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98250

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A₁, то  AB = BA₁).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98260

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Методы математического анализа (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая  [0, 1],  что  

 

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями