Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 98327 (#1)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Куб	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Авторы: Мёбиус А., Шарыгин И.Ф.

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98328 (#2)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Сендеров В.А., Васильев Н.Б.

а) Докажите для всех n > 2 неравенство

б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2

Прислать комментарий

Решение

Задача 98329 (#3)

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Авторы: Лопшиц А.Л., Васильев Н.Б.

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98330 (#4)

Темы:	[	Итерации	]
	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богатый С., Смуров М.В.

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции y = f(x), для которой f(f(x)) = x² – 1996 при всех x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98331 (#5)

Темы:	[	Четность перестановки	]
	[	Обход графов	]
	[	Перестройки	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин С.В.

а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть f_ij означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]