Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]

Задача 57989 (#19.011)

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 4+
Классы: 9

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

Прислать комментарий Решение

Задача 57990 (#19.012)

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, D — точка касания ее со стороной AC, B₁ — середина стороны AC. Докажите, что прямая B₁O делит отрезок BD пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 57991 (#19.013)

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 9

Окружности $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность $\delta$ касается внешним образом всех трех окружностей $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ . Докажите, что центр окружности $\delta$ лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57992 (#19.014)

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 9

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса $\rho$ так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $\rho$ , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

Прислать комментарий Решение

Задача 57993 (#19.014.1)

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 5+
Классы: 9

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]