ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]      



Задача 57989  (#19.011)

Тема:   [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57990  (#19.012)

Тема:   [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, D — точка касания ее со стороной AC, B1 — середина стороны AC. Докажите, что прямая B1O делит отрезок BD пополам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57991  (#19.013)

Тема:   [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9

Окружности $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность $ \delta$ касается внешним образом всех трех окружностей $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$. Докажите, что центр окружности $ \delta$ лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57992  (#19.014)

Тема:   [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса $ \rho$ так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите $ \rho$, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57993  (#19.014.1)

Тема:   [ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 5+
Классы: 9

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A1, B1 и C1 — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .