ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]      



Задача 79272  (#19.006)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Итерации ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57985  (#19.007)

Тема:   [ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Докажите, что R$ \ge$2r, причем равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57986  (#19.008)

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ]
[ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть M — центр масс n-угольника A1...An; M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1,..., An соответственно. Докажите, что многоугольники A1...An и  M1...Mn гомотетичны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57987  (#19.009)

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Подобные фигуры ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $ \Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $ \Phi_{1}^{}$ и $ \Phi_{2}^{}$, подобных $ \Phi$ с коэффициентом 1/2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55767  (#19.010)

Темы:   [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Гомотетия (ГМТ) ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .