ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      



Задача 58395  (#29.027)

Темы:   [ Комплексные числа в геометрии ]
[ Свойства инверсии ]
[ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-b}{a-c}}$, называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число $ {\frac{a-c}{a-d}}$ : $ {\frac{b-c}{b-d}}$, называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58396  (#29.028)

 [Неравенство Птолемея]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD$ \ge$AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

\begin{multline*}
A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_...
...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6.
\end{multline*}


в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58397  (#29.029)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m2n2 = a2c2 + b2d2 - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).
Прислать комментарий     Решение


Задача 58398  (#29.024)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A1 (соответственно B1, C1) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A2 (соответственно B2, C2) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58399  (#29.030B)

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Прямая Симсона ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .