ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      



Задача 58400  (#29.030)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$ . $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ . $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ . $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1,

где a, b, c — длины сторон треугольника.
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A1, B1, C1. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a1, b1, c1 — длины сторон треугольника A1B1C1, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что

4S2$\displaystyle \le$a2b1c1 + b2a1c1 + c2a1b1.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58401  (#29.032B-)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120o при вершинах A1, B1 и C1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58402  (#29.031)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A1A2...An с центром O внешним образом построены квадраты Aj + 1AjBjCj + 1 (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно 2$ \bigl($1 - cos(2$ \pi$/n)$ \bigr)$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58403  (#29.032)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58404  (#29.032.1)

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc$ \bar{z}$$ \bar{w}$ = a + b + c (Морли).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .