Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1325 1326 1327 1328 1329 1330 1331 >> [Всего задач: 6702]

Задача 52511

[Окружность девяти точек]

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 52923

Темы:	[	Формула Эйлера	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 53121

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности четырёхугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания сторон первого четырёхугольника с окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 53134

[Задача о бабочке]

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53626

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Докажите, что если:

а) два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;

б) два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1325 1326 1327 1328 1329 1330 1331 >> [Всего задач: 6702]