Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
73621
(#М86)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").
Задача
56681
(#М87)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Три окружности радиуса
R проходят через точку
H;
A,
B и
C — точки их попарного пересечения, отличные
от
H. Докажите, что:
а)
H — точка пересечения высот треугольника
ABC;
б) радиус описанной окружности треугольника
ABC тоже равен
R.
Задача
73623
(#М88)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?
Задача
73624
(#М89)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.
Задача
73625
(#М90)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Если
x1 < x2 < x3 < ... < xn — натуральные числа, то сумма
n – 1 дробей,
k-я из которых, где
k < n, равна отношению квадратного корня из разности
xk+1 - xk к числу
xk+1, меньше суммы чисел 1,
1/
2,
1/
3, ...,
1/
n2. Докажите это.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Фильтр
Решение 
