Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1984]

Задача 78036

Тема:

[

Симметрические системы. Инволютивные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x⁴ + y⁴ = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78039

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78042

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78049

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
а) При n = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
б) Доказать, что при n = 10 такой нумерации осуществить нельзя.

Прислать комментарий Решение

Задача 78052

Темы:	[	Подобные треугольники	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1. Доказать, что A₂C₂ || AC, C₂B₂ || CB, B₂A₂ || BA.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1984]